La propriété de Pythagore
1) Le triangle rectangle:
Un triangle rectangle est un triangle ayant un angle droit.
Le côté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse.
Dans un triangle rectangle le plus grand côté est l'hypoténuse.
2) La propriété de Pythagore:
Dans un triangle rectangle le carré de la longueur de l'hypoténuse
est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
BC² = AB² + AC²
Remarques: Cette propriété ne s'applique qu'aux triangles rectangles!
Cette propriété permet de calculer la longueur d'un côté du triangle rectangle connaissant les deux autres. L'usage de la touche Ö de la calculette est souvent nécessaire.
Exemples: ABC triangle rectangle en A avec AC=9 et BC=15. Calculer AB.
La propriété de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A donne:
BC² = AB² + AC²; donc 15² = AB² + 9² 225 = AB² + 81 et AB² = 225 - 81 = 144
AB² = 144 donc AB = Ö144 = 12
3) Réciproque de la propriété de Pythagore :
Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté
est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés
alors ce triangle est rectangle.
L'angle droit est l'angle opposé au plus grand côté.
Si dans un triangle ABC on a BC² = AB² + AC² alors ce triangle est rectangle en A.
Exemples: a) Le triangle ABC avec AB=8 ; AC=18 et BC=20 est-il rectangle?
BC est le plus grand côté; on calcule BC² = 20² = 400
On calcule AB² + AC² = 8² + 18² = 64 + 324 = 388
Le triangle ABC n'est pas rectangle car BC² ¹ AB² + AC²
b) Le triangle MNP avec MN=3,3 ; NP=6,5 et PM=5,6 est-il rectangle?
NP est le plus grand côté; NP² = 6,5² = 42,25
MN² + MP² = 3,3² + 5,6² = 10,89 + 31,36 = 42,25
Le triangle MNP est rectangle en M car NP² = MN² + MP²