Les équations

1) Définitions:

Si on écrit 3´4 + 5 = 17 on a une égalité.

Si on écrit 3x + 5 = 17, on a une équation, dont x est l'inconnue et qui devient une égalité quand x= 4.

Les deux quantités de chaque côtés du signe = s'appellent membres de l'équation.

Résoudre une équation, c'est trouver la (ou les) valeur (s) de l'inconnue qui donne une égalité.

Cette valeur de l'inconnue s'appelle la solution de l'équation.

Dans notre exemple, la solution de l'équation est 4.

2) Des règles pour résoudre les équations:

On ne change pas les solutions d'une équation en ajoutant ou en retranchant le même nombre aux deux membres d'une équation.

ex 1: x – 9 = 17 donc en ajoutant 9 aux deux membres on a :

x – 9 + 9 = 17 + 9

d'où x = 26.

ex 2: 3x + 4 = 2x – 5 donc en retranchant 2x aux deux membres on a :

3x + 4 – 2x = 2x – 5 – 2x d'où x + 4 = – 5

et en retranchant 4 aux deux membres on a x + 4 – 4 = – 5 – 4

soit x = – 9.

On ne change pas les solutions d'une équation en multipliant ou en divisant les deux membres d'une équation par un même nombre, non nul.

ex 3 : 6x = 18 donc en multipliant les deux membres par on a :

soit x= 3.

ex 4 : donc en multipliant les deux membres par 7 on a:

soit x = 21

3) Résolution d'équation:

3x + 8 = 5x – 6

on ajoute -8 aux deux membres : 3x + 8 – 8 = 5x – 6 – 8

3x = 5x –14

on ajoute – 5x aux deux membres : 3x – 5x = 5x –14 - 5x

–2x = –14

on multiplie les deux membres par :

x = 7

4) Problème et équation :

Pour mettre un problème en équation, on passe par les étapes suivantes:

choix de l'inconnue, (généralement en relisant la question),

mise en équation en lisant attentivement le texte,

résolution de l'équation,

phrase de réponse .

Exemple : trouver cinq nombres entiers consécutifs dont la somme est 1 515.

On appelle x le plus petit des cinq nombres.

Les nombres consécutifs sont alors : x ; x + 1 ; x + 2 ; x + 3 ; x + 4.

On a x + x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 = 1 515

et 5x + 10 = 1 515

soit 5x + 10 – 10 = 1 515 – 10

et 5x = 1 505 d'où donc x = 301.

Les cinq nombres entiers consécutifs sont 301, 302, 303, 304, 305.