Calcul littéral

a, b, m, n et x sont des nombres relatifs.

1) Rappels:

Le résultat d'une addition est une somme.

Le résultat d'une soustraction est une différence.

Le résultat d'une multiplication est une produit.

Le résultat d'une division est un quotient.

Le nom d'un calcul est donné par le dernier effectué.

Le produit de deux nombres de même signe est un nombre positif.

Le produit de deux nombres de signes différents est un nombre négatif.

Quant on enlève une parenthèse précédée du signe -, on écrit les opposés du contenu de cette parenthèse.

Distributivité: m(a+b)=ma+mb

m(a-b)=ma- mb

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

(a- b)(m+n)=am+an-bm-bn

(a-b)(m-n)=am-an-bm+bn

2) Les produits remarquables:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

(a + b)(a - b) = a² - b²

3) Développer:

5(x + 3) = 5x + 15

8(2x - 5) = 16x - 40

(2x + 1)(3x + 4) = (2x)(3x) + 4(2x) + 1(3x) + 4´1

= 6x² + 8x + 3x + 4

= 6x² + 11x + 4

(5x - 3)(3x - 4) = (5x)(3x) - 4(5x) - 3(3x) + 3 ´ 4

= 15x² -20x –9x +12

= 15x² -29x + 12

(2x + 3)² = (2x)² + 2(2x)´3 + 3²

= 4x² + 12x + 9

(3x- 5)² = (3x)² -2(3x)´5 + 5²

= 9x² - 30x + 25

(7x + 4)(7x - 4) = (7x)² - 4²

= 49x² - 16

4) Factoriser:

Questions à se poser pour factoriser:

a) peut on mettre en évidence:

¨ un nombre en commun ?

¨ une lettre, ou inconnue, en commun ?

¨ une expression, une parenthèse, en commun ?

¨ un produit remarquable ?

b) a t-on bien mis les termes dans le même ordre que dans l'énoncé, avec les bons signes?

c) par quoi faut-il multiplier (l'expression en facteur) pour obtenir (le terme proposé) ?.

exemple : (2x+3)²-(2x+3)(5x-1).

l'expression (2x+3) est en commun, on va donc la mettre en facteur commun ;

on a (2x+3)²-(2x+3)(5x-1)=(2x+3)(............)

par quoi faut-il multiplier (2x+3) pour obtenir (2x+3)² ? par (2x+3) qui est le premier terme dans la parenthèse ; on a (2x+3)²-(2x+3)(5x-1)=(2x+3)((2x+3)............) ;

par quoi faut-il multiplier (2x+3) pour obtenir (2x+3)(5x-1) ? par (5x-1) qui est le deuxième terme de la parenthèse ; on a (2x+3)²-(2x+3)(5x-1)=(2x+3)((2x+3)....(5x-1))

quel est le signe séparant les termes dans le calcul ? - ;

donc (2x+3)²-(2x+3)(5x-1)=(2x+3)((2x+3)-(5x-1))

il ne reste plus qu'à réduire la parenthèse.

8x - 4 = 4(2x - 1)

7x² + 5x = x(7x + 5)

x² - 16= (x + 4)( x - 4)

36x² + 60x + 25 = (6x + 5)²

(3x + 2)(5x +7 ) - (3x + 2)(2x –5) = (3x + 2)[(5x + 7) - (2x - 5)] = (3x + 2)(5x + 7 - 2x + 5)

= (3x + 2)(3x + 12)

Remarques sur les produits remarquables et les racines carrées :