Systèmes

x et y sont des nombres relatifs.

1) Définition:

Un Système d'équations à deux inconnues est la donnée de deux équations, comportant deux inconnues (en général x et y) qui doivent être vérifiées en même temps.

Résoudre un système c'est trouver tous les couples (x;y) qui vérifient simultanément les deux équations.

On donne la solution sous la forme S={(x;y)}

Il ne faut connaître qu'une des méthodes

2) Méthode par comparaison:

Cette méthode est utilisée quand on a les deux équations sous la forme :

On écrit alors l'égalité des deux quantités et on est amené à résoudre une équation à une inconnue Pour calculer la deuxième inconnue on remplace l'inconnue déjà calculée par sa valeur dans une des équations du départ.

Exemple:

3) Méthode par substitution:

Cette méthode est utilisée quand on a l'une des équations sous la forme :

On remplace l'inconnue isolée (x si c'est x=... ou y si c'est y=...) dans l'autre équation par sa valeur correspondante.

On est alors amené à résoudre une équation à une inconnue. Pour trouver la deuxième on remplace l'inconnue déjà calculée par sa valeur dans l'équation du départ.

Exemple:

4) Méthode par combinaison linéaire (ou par addition):

Cette méthode est une méthode très générale.

En multipliant toute la première ligne par un nombre puis toute la seconde ligne par un autre nombre on fait apparaître devant x (ou y) deux nombres opposés. En additionnant les deux lignes on fait disparaître une inconnue et on est amené à résoudre une équation à une inconnue.

On procède de même pour la deuxième inconnue.

Exemple:

5) Problème conduisant à un système:

En lisant attentivement le texte on choisi les inconnues (généralement leur choix réside dans la question);

On écrit le système d'équations (en faisant attention à bien respecter le texte);

On résous le système (par la méthode que l'on préfère);

On donne une phrase de fin pour répondre à la question.

Exemple :

Chez le pépiniériste, on propose un lot de 16 arbres fruitiers composé de pêchers et de poiriers, à 187,2 €. Les pêchers valent 10,6 € pièce et les poiriers 15 € pièce.

Calculer le nombre d'arbres de chaque sorte dans un lot.

On résous le système par la méthode que l'on veut (ici on peut utiliser la substitution ou la combinaison linéaire).

Le système a pour solution x=12 et y=4.

Le lot contient 12 pêchers et 4 poiriers.