Les triangles

1)Tracé d'un triangle

a) connaissant les mesures des trois côtés :

Pour construire le triangle ROI de côtés RI=5 ; RO=4 et OI=6 ,

on trace le côté RI de 5cm

puis l'arc de cercle de centre R et de rayon 4cm

et enfin l'arc de cercle de centre I et de rayon 6cm .

b) connaissant les mesures de deux côtés et de l'angle compris entre ces côtés :

Pour construire le triangle CUI de côtés CI=5 ; CU=5,5 et

on trace le côté CI=5cm puis ,

à l'aide du rapporteur , on trace l'angle de 70° de sommet I

et enfin l'arc de centre C et de rayon 5,5cm .

c) connaissant la mesure d'un côté et celles des deux angles adjacents :

Pour tracer le triangle LAC de côté LC=5 et d'angles

on trace le côté LC=5cm

et à l'aide du rapporteur on trace l'angle de 30° et de sommet C

et enfin l'angle de 110° et de sommet L .

2) Inégalité triangulaire :

Dans tous les triangles,

la mesure d'un côté est inférieure à la somme des mesures des deux autres côtés .

BC < BA + AC

AC < AB + BC

AB < AC + CB

Si BC=BA+AC alors le point A est un point du segment [BC] .

Si le point A est un point du segment [BC] alors BA+AC=BC .

3) Droites particulières d'un triangle :

4) Propriétés de la médiatrice :

Si P appartient à la médiatrice de [AB] alors PA=PB .

Si PA=PB alors P appartient à la médiatrice de [AB] .

Si PA=PB et QA=QB alors (PQ) est la médiatrice de [AB] .

Si un point appartient à la médiatrice d'un segment

alors il est équidistant des extrémités de ce segment .

Si un point est équidistant des extrémités d'un segment

alors il appartient à la médiatrice de ce segment .

Si deux points sont équidistants des extrémités d'un segment

alors la droite passant par ces deux points est la médiatrice de ce segment .

5) Première démonstration ; le cercle circonscrit au triangle :

Nous allons démontrer (c'est à dire prouver ) que :

Dans tout triangle, les trois médiatrices se coupent en un même point .

Ce point est le centre d'un cercle passant par les trois sommets du triangle .

Par définition ce cercle s'appelle " cercle circonscrit au triangle " .

Démonstration :

(d1) est la médiatrice de [AB] donc O est équidistant de A et de B : OA=OB .

(d2) est la médiatrice de [AC] donc O est équidistant de A et de C : OA=OC .

Comme on a OA=OB et OA=OC on en déduit que OB=OC

donc que O appartient à la médiatrice de [BC] .

Les trois médiatrices se coupent en O .

On a OA=OB et OA=OC on en déduit que OA=OB=OC .

Le point O est équidistant de A, de B et de C, O est donc centre du cercle passant par A , B et C .