La propriété de Thalès
1) Rappels:
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
Si deux droites sont parallèles avec un point commun alors elles sont confondues.
2) Les situations de Thalès:
d et d' sont deux droites sécantes en A et les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
3) Le théorème de Thalès:
Soit (d) et (d') deux droites sécantes en A.
Soit B et M deux points de (d) distincts de A.
Soit C et N deux points de (d') distincts de A .
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors
Remarques : Si les rapports sont différents alors les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.
Pour écrire les rapports :
4) La réciproque du théorème de Thalès:
Soit (d) et (d') deux droites sécantes en A.
Soit B et M deux points de (d) distincts de A.
Soit C et N deux points de (d') distincts de A.
Si
et si les points A, B, M et les points A, C, N sont dans le même ordre,
alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
5) Exemple de la situation de Thalès:
ABC est un triangle avec AB=4cm; AC=5cm et BC=6cm.
Sur le segment [AB] on place M tel que BM=3cm.
La parallèle à (AC) passant par M coupe (BC) en N.
Calculer BN et MN.
6) Exemple de la réciproque du théorème de Thalès:
Soit (C1) et (C2) deux cercles de même centre O et de rayons r1 et r2.
Une demi-droite D issue de O coupe (C1) en A et (C2) en B.
Une demi-droite D' issue de O coupe (C1) en M et (C2) en N.
Démontrer que les droites (AM) et (BN) sont parallèles.
la réciproque du théorème de Thalés donne (AM)//(BN).