Systémes

x et y sont des nombres relatifs.

1) Définition:

Un Système d'équations à deux inconnues est la donnée de deux équations, comportant deux inconnues (en général x et y) qui doivent être vérifiées en même temps.

     Résoudre un système c'est trouver tous les couples (x;y)

qui vérifient simultanément les deux équations.     

On donne la solution sous la forme S={(x;y)}

2) Méthode par comparaison:

        Cette méthode est utilisée quand on a  les deux équations sous la forme :

On écrit alors l'égalité des deux quantités et on est amené à résoudre une équation à une inconnue.

Pour calculer la deuxième inconnue on remplace l'inconnue déjà calculée

par sa valeur dans une des équations du départ.

Exemple:    

3) Méthode par substitution:   

Cette méthode est utilisée quand on a  l'une des équations sous la forme :

On remplace l'inconnue isolée (x si c'est x=... ou y si c'est y=...) 

dans l'autre équation par sa valeur correspondante.

On est alors amené à résoudre une équation à une inconnue.

Pour trouver la deuxième on remplace l'inconnue déjà calculée par sa valeur dans l'équation du départ. Exemple:

4) Méthode par combinaison linéaire (ou par addition):

Cette méthode est une méthode très générale.

En multipliant toute la première ligne par un nombre

puis toute la seconde ligne par un autre nombre

on fait apparaître devant x  (ou y)  deux nombres opposés.

En additionnant les deux lignes on fait disparaître une inconnue

et on est amené à résoudre une équation à une inconnue.

On procède de même pour la deuxième inconnue.

Exemple:

5) Problème conduisant à un système:

En lisant attentivement le texte on choisi les inconnues (généralement leur choix réside dans la question);  

         On écrit le système d'équations (en faisant attention à bien respecter le texte);

On résous le système (par la méthode que l'on préfère);

On donne une phrase de fin pour répondre à la question.

Exemple : Chez le pépiniériste,  on propose un lot de 16 arbres fruitiers composé de pêchers et de poiriers,  à  1872 F. Les pêchers valent 106F pièce et les poiriers 150F pièce.

Calculer le nombre d'arbres de chaque sorte dans un lot.

Le système a pour solution x=12 et y=4.     Le lot contient 12 pêchers et 4 poiriers.