Systémes
x et y sont des nombres relatifs.
1) Définition:
Un Système d'équations à deux inconnues est la donnée de deux équations, comportant deux inconnues (en général x et y) qui doivent être vérifiées en même temps.
Résoudre un système c'est trouver tous les couples (x;y)
qui vérifient simultanément les deux équations.
On donne la solution sous la forme S={(x;y)}
2) Méthode par comparaison:
Cette méthode est utilisée quand on a les deux équations sous la forme :
On écrit alors l'égalité des deux quantités et on est amené à résoudre une équation à une inconnue.
Pour calculer la deuxième inconnue on remplace l'inconnue déjà calculée
par sa valeur dans une des équations du départ.
Exemple:
3) Méthode par substitution:
Cette méthode est utilisée quand on a l'une des équations sous la forme :
On remplace l'inconnue isolée (x si c'est x=... ou y si c'est y=...)
dans l'autre équation par sa valeur correspondante.
On est alors amené à résoudre une équation à une inconnue.
Pour trouver la deuxième on remplace l'inconnue déjà calculée par sa valeur dans l'équation du départ. Exemple:
4) Méthode par combinaison linéaire (ou par addition):
Cette méthode est une méthode très générale.
En multipliant toute la première ligne par un nombre
puis toute la seconde ligne par un autre nombre
on fait apparaître devant x (ou y) deux nombres opposés.
En additionnant les deux lignes on fait disparaître une inconnue
et on est amené à résoudre une équation à une inconnue.
On procède de même pour la deuxième inconnue.
Exemple:
5) Problème conduisant à un système:
En lisant attentivement le texte on choisi les inconnues (généralement leur choix réside dans la question);
On écrit le système d'équations (en faisant attention à bien respecter le texte);
On résous le système (par la méthode que l'on préfère);
On donne une phrase de fin pour répondre à la question.
Exemple : Chez le pépiniériste, on propose un lot de 16 arbres fruitiers composé de pêchers et de poiriers, à 1872 F. Les pêchers valent 106F pièce et les poiriers 150F pièce.
Calculer le nombre d'arbres de chaque sorte dans un lot.
Le système a pour solution x=12 et y=4. Le lot contient 12 pêchers et 4 poiriers.